Жизнь как игра

Возможно ли решить проблемы в бизнесе или личной жизни с помощью математики? Мы собрали для вас десять ярких примеров из теории игр, которые моделируют поведение людей в различных ситуациях и помогают решить проблемы современного общества с помощью математических алгоритмов.

1. «Дилемма заключенного»

В 1950 году американские исследователи Мерил Флад и Мелвин Дрешер предложили базовую модель «Дилеммы заключенного». Есть версия, что данная концепция была разработана для прогноза гонки ядерных вооружений между США и СССР.

Задача состоит в следующем: при ограблении банка пойманы два преступника. Полиция допрашивает каждого по отдельности, и до тех пор подозреваемые находятся в разных камерах и не могут контактировать. Существует четыре варианта развития событий:

1. Вы даете показания против своего напарника. Ваш напарник не сознается. Тогда вы выходите на свободу, а он получает десять лет тюрьмы.

2. Вы молчите, но ваш напарник дает показания против вас. Тогда он выходит на свободу, а вы получаете десять лет.

3. И вы, и ваш напарник дают показания. Тогда вы оба получаете срок в два года.

4. Никто не сознается, тогда обоих отпускают через полгода за недостатком доказательств.

Матрица данной задачи выглядит таким образом:

	Заключенный 2: Молчать	Заключенный 2: Стучать
Заключенный 1: Молчать	- 6 месяцев; - 6 месяцев	- 0; - 10 лет
Заключенный 1: Стучать	- 0; - 10 лет	- 2 года; - 2 года

 

Для подозреваемых выгоднее всего молчать, тогда оба получат небольшой срок. Если напарник молчит, тогда логичнее будет сдать его и избежать срок. Если напарник заговорит, то тогда тоже лучше сознаться. Но проблема в том, что заключенные не могут быть уверены в том, как поведет себя их напарник.

Конечно же, в реальности такая сделка невозможна, это метафора человеческих отношений, основной проблемой которых является доверие. Конфликт интересов возникает из-за нежелания доверять другому и отказа от выгодной для обоих договоренности в пользу соперничества.

Данная дилемма очень схожа со схемой рыночной конкуренции, при которой компании не могут договориться о ценах для удержания равного уровня прибыли. В стратегии борьбы за потребителя фирмы вынуждены ориентироваться на ходы конкурентов и опускать цены, не доверяя друг другу.

Ту же гонку вооружений между США и СССР теперь напоминают современные рекламные кампании. От общих договоренностей выиграли бы все стороны, но единоличным победителем в этой борьбе может выйти нарушающий соглашения и идущий до конца в своих эгоистических целях игрок.

2. «Ультиматум»

Известной игрой для описания процесса переговоров является «Ультиматум», сформулированный американскими экономистами в 1982 году. Суть в следующем:

Два участника должны разделить между собой некоторую сумму денег, например, 100 долларов. Сначала свой вариант предлагает первый игрок – сколько оставить себе, а сколько отдать другому. Если второй игрок соглашается с этим вариантом, то деньги делятся между ними. Если он отказывается, то деньги уходят обратно в банк.

Первый игрок должен предложить такой вариант раздела, чтобы второй участник согласился на эту схему, и при этом максимизировать свой выигрыш. Первый игрок может предложить второму 1 доллар, а себе оставить 99 – и согласие второго игрока выглядело бы логично, ведь при отказе он не получает ничего. Но эксперимент показывает, что почти во всех играх второй участник отказывается от суммы менее 20%. Таким образом второй игрок наказывает первого за жадность. Подающие же чаще предлагают большие суммы – 30-50%.

Культурные отличия особенно ярко видны на примере этой игры. Перуанские индейцы принимали практически любое предложение, а азиаты были менее сговорчивы. Психологи считают, что на результаты эксперимента также влияют возраст, уровень тестостерона, сексуальное возбуждение, степень агрессивности и т.д.

В 2003 году было проведено исследование работы головного мозга игроков в «Ультиматум». МРТ показывает, что при получении предложения у второго игрока активизируются три области мозга: ответственная за обработку негативной информации, за самоконтроль и выбор. Именно исход противоборства эмоций и рационального мышления и определяет окончательное решение игрока.

Во время эксперимента испытуемые с блокированным рациональным мышлением становились более сговорчивыми. Получается, что рациональная деятельность мозга отклоняет разумную стратегию в угоду защиты своих представлений о чести и справедливости, даже в убыток себе. Лишенные социальных предрассудков аутисты показывали гораздо меньший процент отказов в игре в «Ультиматум» и чаще следовали идеальной математической схеме.

3. «Трагедия общинного поля»

Существует некая сельская община, у которой есть только одно пастбище. Члены общины могут пасти на нем любое количество скота. Увеличение количества скота повышает доход отдельно взятого жителя, но если все так поступят, то пастбище испортится и уже никому выгоды не принесет. Меньшее количество скота сделает пастбище более плодородным, но доход членов общины в этом случае будет намного ниже.

Игра «Трагедия общин» была основана на модели перенаселения, предложенной Уильямом Форстером Ллойдом в 1833 году, и подходит для множества современных ситуаций: ресурсы, экологические проблемы и даже пробки на дорогах. По сути она описывает противоречие между интересами индивидов относительно общего блага. Чрезмерное использование свободного в доступе ресурса истощает его, но за издержки его содержания члены общины отвечать не хотят.

Социологи и психологи уже давно пытаются разобраться, как привлечь людей к благотворительности или даже элементарно заставить выбрасывать мусор в урну. Вовлечение человека в процессы не только общественно полезно, но и приносит индивидууму положительные эмоции и ощущение гордости за принесенное благо. Акции «Час Земли» и «День без автомобиля» стимулируют интерес к экологическим и другим кризисным темам, но чаще всего эти события игнорируются жителями современных мегаполисов. 

В 2009 году Элинор Остром была удостоена Нобелевской премии по экономике за возможную альтернативу решения «Трагедии общин», в которой исследователь предлагает алгоритмы коллективного использования ресурсов. Контроль и строгое квотирование, по ее мнению, смогут не только наладить рациональное расходование ресурса, но и возобновить его. Работа Остром получила немалую долю критики, в том числе от ученого Берила Кроу, который заявляет, что наравне с выработкой технических шагов для смягчения проблемы, нужно вознаграждать тех, кто отказывается от осквернения общих ресурсов. Личная заинтересованность и вовлеченность являются для ищущих выгоду людей более надежными стимулами, чем давление и контроль общественности.

4. «Проблема вагонетки»

Представим, что вагонетка катится вместе с пассажирами в пропасть. Чтобы ее спасти, надо своими руками столкнуть человека на рельсы. Стоит ли убийство одного человека спасения жизни многих?

Данная дилемма существует в нескольких вариациях, среди которых оригинальной является описанная английским философом Филиппой Фут: вагонетка несется по рельсам, и на ее пути находятся привязанные к рельсам пять человек. Вы можете переключить стрелку, и тогда вагонетка поедет по запасному пути, но на нем находится один человек, также привязанный к рельсам. Как поступить в этой ситуации?

Нанесение моральной травмы в обоих вариантах неизбежно, но переключение стрелки или сталкивание человека на рельсы делает случайного свидетеля ответственным за жизнь других людей. В то время как отказ от действия перекладывает вину за их смерть на кого-то другого, кто изначально привязал этих людей к рельсам, например. Но при этом бездействие – это тоже действие. Вы осознанно выбираете остаться в стороне, и таким образом вы также причастны к смерти этих людей.

Выбирая из двух зол меньшее, многие предпочтут спасти жизнь пятерым и «косвенно» убить одного. Останавливающим фактором от этой логичной схемы является то, что в таком случае вы совершаете намеренное убийство, которое в обществе никогда не бывает полностью оправданным.

Около 90% исследуемых соглашались перевести стрелку вагонетки и убить одного человека для спасения пятерых, но данный эксперимент все-таки существенно отличается от реальной жизни. В подобной экстремальной ситуации будут задействованы не логика и разум, а инстинкты и эмоции, и довольно сложно предугадать собственное решение. Подобные примеры вполне возможны в обстановке военных действий или чрезвычайных ситуациях.

5. «Ястребы и голуби»

В одной популяции животных за некий ресурс между собой конкурируют две группы с разными стратегиями борьбы. «Ястребы» ведут себя агрессивно и при встрече с конкурентом дерутся до конца. «Голуби» стремятся психологически подавить соперника, но отступают при ситуации реальной схватки. Названия групп не имеют отношения к конкретному виду, а понимаются в переносном смысле как стереотипные стратегии поведения.

При встрече с ястребом голубь сразу отступит, а при борьбе с себе подобным после обмена угрозами выиграет более «удачливый», при этом в обоих вариантах отступивший голубь ничего не теряет и остается жив. Два ястреба всегда дерутся до победного – один из них присваивает все ресурсы, второй же получает тяжкие увечья.

Описание этой модели впервые появилось в журнале “Nature” в 1973 году. Игра позволяет рассчитать варианты развития конфликтов и взаимодействий за территорию, ресурсы, сексуальных партнеров и т.д.

В 2007 году лаборатория нейроинтеллекта и нейроморфных систем Курчатовского института создала виртуальный мир с совершающими примитивные действия агентами. Поведение агентов управлялось индивидуальными нейронными сетями, которые также могли складывать простые действия в более сложные стратегии поведения. В процессе эволюции этого виртуального мира агенты разделились на «голубей», «ястребов» и «скворцов» – группу, решающую все проблемы сообща и собирающуюся в стаю перед конфликтом. Эксперимент доказал, что эти стратегии конкурентных отношений наиболее стабильны и являются результатом эволюции человечества.

В проводимом Курчатовским институтом исследовании также было доказано, что появление альтруизма и других возвышенных человеческих качеств способствовало развитию виртуального общества наравне с ярой борьбой и эгоистичностью.

6. «Пари Паскаля»

Французский физик Блез Паскаль был глубоко религиозен, и многие верующие приводят его как пример сочетания научного ума и веры в божественное. В реальности же великий ученый скорее променял одно на другое, чем умело сочетал эти две сферы. В 1654 году на него сошло озарение, которое отдалило его от науки. Делом своей жизни Паскаль называл неоконченный труд «Мысли о религии и других предметах», в котором он описывает некое сакральное пари.

«Пари Паскаля» заключается в том, что религиозный человек несет большие расходы на соблюдение ритуалов, но при этом они с лихвой окупятся, если бог все-таки существует, а атеист не тратит ни цента на эту сторону своей жизни, зато при реальности бога он потерпит бесконечные убытки.

1. При умножении большой вероятности, что бога нет, на маленькую ценность приза получается большая величина, но все же конечная.

2. При умножении маленькой вероятности милости бога на бесконечно большую ценность приза получается бесконечно большая величина.

Блез Паскаль делает вывод, что второй вариант гораздо привлекательнее, так как бесконечные величины естественно предпочтительнее конечных. Но при выборе смиренной жизни человек все-таки отказывается от многих земных наслаждений, таких как слава, богатство и сладострастие. Теория игр рассматривает данное пари в условиях неопределенности:

	Бог есть	Бога нет
Верить	+∞ (вечный рай)	−1 (моральное поведение при затратах)
Не верить	−∞ (вечный ад)	+1 (аморальное поведение без затрат, даже с выгодой)

 

«Пари Паскаля» подчеркивает желание человека объяснить иррациональные вещи с позиции разума и выгоды: «Разумнее верить, чем не верить в то, чему учит христианская религия».  Критики данной модели указывают на противоречие религиозным канонам, которые не признают веру «на всякие случай». Но в реальности многие верующие соблюдают ритуалы лишь формально, что с одной стороны несет ущерб внутреннему содержанию, но с другой – они считают это проявлением религиозности, и никто их в этом не переубедит. Паскаль писал: «Если ваша религия ложна, вы ничем не рискуете, считая ее истинной; если она истинна, вы рискуете всем, считая ее ложной».

Эта схема не оценивает истинность или ложность обоих утверждений и моделей поведения и не является доказательством чего-либо. Это стратегия игры, которая при неопределенных условиях позволяет получить намного больше требуемых затрат или предоставляет выбор понести убытки в будущем, при этом имея желанную жизнь прямо сейчас.

7. «Парадокс блондинки»

Компания друзей в баре замечает за соседним столиком девушек, среди которых наибольшее внимание привлекает блондинка. Если все парни из компании будут флиртовать с блондинкой, то другие девушки обидятся, и в итоге никто не получит блондинку, а другие девушки не захотят быть вторым сортом. Если парни не будут мешать друг другу, то каждый получит по девушке.

Экономист Адам Смит говорил, что лучший результат получается, если каждый действует в своих интересах. «На деле результат будет оптимальным, если каждый член группы сделает как лучше для себя и для группы» – это фраза из фильма «Игры разума», прототипом главного героя в котором стал Нобелевский лауреат Джон Нэш.

«Равновесие по Нэшу» – это ситуация, в которой никто не может увеличить выигрыш, изменив свое решение в одностороннем порядке, когда другие участники не меняют решения, то есть сотрудничать лучше, чем конкурировать.

Изначально данная формула было разработана для бизнеса, но нашла она применение и в других сферах, в том числе и личной жизни, как видно из описанного примера.

8. «Дуэль на троих»

Три человека с оружием стоят в вершинах равностороннего треугольника. Каждый из них имеет право на один выстрел. Кто в кого будет стрелять, и кто останется в живых?

Допустим, двое игроков (А и Б) обращаются с пистолетом хорошо, а третий (В) стреляет плохо. Из-за этого третий игрок практически незначим, и игровое взаимодействие происходит между двумя первыми участниками.

Во всех вариациях исхода дуэли наблюдается тенденция, при которой слабейший игрок имеет больше шансов на победу. Эта игровая схема противоречит эволюции: здесь, в отличие от Дарвиновской теории, выживает слабейший. Первые два игрока заняты уничтожением друг друга и забывают про третьего участника.

У каждого игрока имеется идеальная схема поведения с наилучшим для него исходом. Но если игроки А и Б одновременно пользуются этой наилучшей стратегией, то они оказываются в ситуации, заведомо хуже, чем если бы они подписали между собой договор о действиях сообща.

Теория игры «Дуэль на троих» также применяется в военных действиях, бизнесе и маркетинге. Ведущие корпорации сражаются друг с другом, а в результате вперед выходит какая-нибудь средняя фирма, которую в начале не принимали всерьез.

Похожий исход событий можно наблюдать и спорте, особенно явно это видно в беге на короткие дистанции. Двое спортсменов вырываются вперед, а ближе к финишной прямой их обгоняет кто-то третий, на кого они не обращали внимание в процессе конкуренции с сильным оппонентом.

Оставаясь втроем с соперниками, не стоит зацикливаться на одном из них, даже если он объективно сильнее. Нужно серьезно относится к обоим оппонентам, ведь даже слабый игрок может доставить массу хлопот, если его не воспринимать всерьез.

9. «Аукцион»

Именем профессора Макса Базермана назван феномен «Аукциона», или «Как продать 20 долларов за 200». Это интересная и поучительная история об иррациональности мышления, которая широко применяется в финансовой деятельности.

На торги выставлена купюра в 20 долларов. Участники предлагают свои цены, начиная от одного доллара. Самая высокая ставка побеждает, и ее владелец также получает сумму ставки, которая предлагалась перед финальной.

Изначально все хотят купить 20 долларов за бесценок и предлагают маленькие суммы. При процессе аукциона делающие самые высокие ставки игроки понимают, что попали в ловушку, так как при проигрыше они потеряют довольно существенную сумму. Ставки начинают повышаться не столько ради выигрыша, сколько из-за страха потери. В эксперименте Базермана над студентами Гарварда рекордной ставкой была 204 доллара. 

С помощью этой игровой теории Базерман раскрывает механизм работы азартных игр, фондовых бирж, аукционов и других систем, в которых участники выбирают между тем, чтобы остановиться и зафиксировать убытки или попытаться отыграться. Терпящие убытки люди ведут себя иррационально в стремлении уменьшить свои потери.

После проведенного аукциона ученый объясняет своим студентам, что еще «на берегу» надо решить, каким будет максимальный убыток, который вы согласны понести. После достижения этого лимита надо прекратить деятельность и выходить из игры или торгов, несмотря на азарт и желание отыграться.

10. «Марьяж»

В 1962 году американские математики Дэвид Гейл и Ллойд Шепли опубликовали статью «Поступление в колледж и стабильность браков». Исследуемая теория, в которой участники могут объединять свои усилия, получая при этом больший выигрыш, получила название задачи о марьяже.

Даны два множества элементов – мужчины и женщины. В зависимости от личных предпочтений, каждый участник ранжирует противоположный пол в порядке убывания своей симпатии. Требуется разбить всех этих людей на стабильные пары, чтобы при этом никто из супругов не испытывал взаимного притяжения к чужому партнеру. Возможно ли это?

В оригинальном алгоритме Гейла и Шепли сначала каждый мужчина делает предложение номеру один из своего списка. Женщины отвечают «да» наиболее привлекательным кандидатам, «может быть» кандидатам из середины списка, «нет» – всем остальным. Дальше неудачливые женихи идут к вице-фавориткам, которые также делают свой выбор. Девушки могут разорвать «помолвку» первого этапа, если второй кандидат имеет более высокий ранг в их рейтинге. Сценарий повторяется до тех пор, пока все мужчины не получат полноценное «да» от невест.

С развитием феминизма и в разных вариантах правил меняется выбирающая сторона (женщина или мужчина). Но схема перестает работать, если речь идет о гомосексуальных отношениях. Разбивка на пары в этом случае идет не для элементов двух множеств, а одного — и схема сразу становится неустойчивой.

В 2012 году Ллойд Шепли получил Нобелевскую премию по экономике за работу по теории устойчивого распределения и практику моделирования рынка. Данный алгоритм успешно применяется для набора сотрудников на работу и спортсменов в команду, распределения студентов по колледжам, специалистов по клиникам и донорских органов по больным, но неизвестно, пытался ли кто-либо искать свою вторую половинку таким образом.